TALES DE MILETO

SUA HISTORIA

            Ele foi um filósofo da Grécia Antiga, o primeiro filósofo ocidental de que se tem notícia. De ascendência fenicia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor, atual Turquia, por volta de 624 ou 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 556 ou 558 a.C.

            Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga. Além disso, foi o fundador da Escola Jônica. Considerava a água como sendo a origem de todas as coisas, e seus seguidores, embora discordassem quanto à “substância primordial” (que constituía a essência do universo), concordavam com ele no que dizia respeito à existência de um “princípio único" para essa natureza primordial.
Entre os principais discípulos de Tales de Mileto merecem destaque: Anaxímenes que dizia ser o "ar" a substância primária; e Anaximandro, para quem os mundos eram infinitos em sua perpétua inter-relação.

            No Naturalismo esboçou o que podemos citar como os primeiros passos do pensamento Teórico evolucionista: "O mundo evoluiu da água por processos naturais", disse ele, aproximadamente 2460 anos antes de Charles Darwin. Sendo seguido por Empédocles de Agrigento na mesma linha de pensamento evolutivo: "Sobrevive aquele que está melhor capacitado".

            Tales foi o primeiro a explicar o eclipse solar, ao verificar que a Lua é iluminada por esse astro. Segundo Heródoto, ele teria previsto um eclipse solar em 585 a.C. Segundo Aristóteles, tal feito marca o momento em que começa a filosofia. Os astreônomos modernos calculam que esse eclipse se apresentou em 28 de Maio do ano mencionado por Heródoto.

            Se Tales aparece como o iniciador da filosofia, é porque seu esforço em buscar o princípio único da explicação do mundo não só constituiu o ideal da filosofia como também forneceu impulso para o próprio desenvolvimento dela.

            A tendência do filósofo em buscar a verdade da vida na natureza o levou também a algumas experiências com magnetismo que naquele tempo só existiam como curiosa atração por objetos de ferro por um tipo de rocha meteórica achado na cidade de Magnésia, de onde o nome deriva.

            Esse esforço investigativo de Tales no sentido de descobrir uma unidade, que seria a causa de todas as coisas, representa uma mudança de comportamento na atitude do homem perante o cosmos, pois abandona as explicações religiosas até então vigentes e busca, através da razão e da observação, um novo sentido para o universo.

            Quando Tales disse que todas as coisas estão cheias de deuses, ou que o magnetismo se deve à existência de “almas” dentro de certos minerais, ele não estava invocando as palavras Deus e Alma, no sentido religioso como as conhecemos atualmente, mas sim adivinhando intuitivamente a presença de fenômenos naturais inerentes à própria matéria.

            Embora suas conclusões cosmológicas estivessem erradas podemos dizer que a Filosofia começou então com Tales, que ao estabelecer a proposição de que a água é o absoluto, provoca como consequência o primeiro distanciamento entre o pensamento racional e as percepções sensíveis.

            A vida dos antigos pensadores gregos é frequentemente conhecida apenas de maneira incompleta. Realmente, os primeiros biógrafos não achavam correto divulgar fatos menos importantes concernentes à personalidade dos sábios. Eles julgavam as descobertas destes homens mais que suficientes para que fossem considerados como seres bastante superiores aos comuns mortais. E, como tais, deveriam ter uma imagem semelhante à dos deuses, sendo desprezados os fatos mais corriqueiros de sua vida.

DESCOBERTAS GEOMETRICAS

Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são:

·      A demonstração de que os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais;

·      A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais;

·      A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;

·      A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;

Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelos vertices são iguais.

CURIOSIDADES

            Conta-se que Tales, considerado o primeiro pensador do Ocidente, era tão distraído que certa vez ao olhar para céu caiu num buraco, sendo, por isso, chamado de lunático.

            Conta-se também que Tales era tão sabido que, prevendo pela meteorologia uma colheita abundante, comprou todos os instrumentos usados para processar a azeitona, arrendando-os tempos depois com um grande lucro. Essas duas anedotas referem-se ao mesmo filósofo - Tales de Mileto - e até hoje servem para ilustrar as relações contraditórias entre a filosofia e a vida prática.

            Tales nasceu na Ásia Menor, na antiga colônia grega de Mileto. É considerado o filósofo da physis, a substância natural de que tudo é formado. Sua grande contribuição foi a busca de um princípio único para as coisas da natureza.

            Embora não existam fragmentos da obra de Tales, seu pensamento pode ser conhecido a partir da "Metafísica", obra do também filósofo grego Aristóteles.

            Segundo alguns historiadores, Tales foi comerciante, o que lhe rendeu recursos suficientes para dedicar-se a suas pesquisas. Tales provavelmente viajou para o Egito e a Babilônia, entrando em contato com astrônomos e matemáticos. Depois de aposentado, passou a dedicar-se à matemática, estabelecendo os fundamentos da geometria.

            Atribuem-se a Tales diversas descobertas matemáticas. Além de estudar a geometria do círculo e do triângulo isósceles, Tales demonstrou o cálculo da altura de uma pirâmide, baseado no comprimento de sua sombra.
Segundo o historiador Heródoto, Tales previu a ocorrência de um eclipse solar no dia 28 de maio de 585 a.C. Aristóteles chegou a considerar este o momento do nascimento da filosofia.

Pitágoras

               

                 Pitágoras, nasceu cerca de 580 anos A.C., em Samos, uma ilha do mar Egeu,  foi um dos maiores filósofos da Europa antiga,e era filho de um gravador, Mnesarco. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos.

            Quando adulto, deixou sua terra para buscar novos conhecimentos, visitando grandes centros da sabedoria. Segundo a história, peregrinou  pelo Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, em busca de novas sabedorias.

            Quando voltou, pretendia abrir uma escola para divulgar seus conhecimentos. Mas foi impedido pelo turbulento tirano Policrates, governador da ilha em que vivia. Mudou-se, então, para Crotona, importante cidade da Magna Grécia.

            Fundou ali a Escola ou Sociedade de Estudiosos que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa. Nessa Escola, Pitágoras, passou a ensinar secretamente a sabedoria oculta que havia reunido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes  do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.

            Lecionou por cerca de quarenta anos, para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..

            A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de meditação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.

            O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais ocultos.

            Não era permitido a ninguém registrar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. O que se tem são apenas fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.

            Suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.

            Os princípios que governam os Números eram, supunham-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.

            Supôe-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.

Teorema de Pitágoras

Lenda e História

 

            Os especialistas em geometria gregos, elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes.Basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por retas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.

            Comparando as áreas das duas figuras planas semelhantes, da mesma forma, é preciso comparar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.

            Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e seu teorema: Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. Segundo a lenda, Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou  o sacrifício de cem bois aos deuses, em  agradecimento.

            A descoberta de Pitágoras não está registrada em jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia esses meios de comunicação. Temos apenas lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. No entanto, muitas razões nos fazem  acreditar na “história de Pitágoras”.

Para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

A  hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. A declaração anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser declarado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

Para ambas as declarações, pode-se equacionar

a²= b² + c²

Onde a representa o comprimento da hipotenusa, e b e c  representam os comprimentos dos outros dois lados.

A Árvore de Pitágoras

            Essa Árvore é construída da seguinte forma:

Desenhar um quadrado,

Em um dos lados deste quadrado desenha-se um triângulo;

Nos dois lados livres do triângulo desenham-se dois quadrados (as medidas dos lados dos quadrados são iguais às medidas dos lados dos triângulos );

E assim sucessivamente  repetem-se os 3 passos anteriores para os dois novos quadrados.

A imagem formada é essa Árvore de Pitágoras;

Tudo é Número

            Segundo os Pitagóricos,  “tudo são números”. Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.

            Os seguidores de Pitágoras, notaram haver uma relação matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b)   2.

            Tinha Pitágoras uma especial atenção pelo número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.

pentágono e estrela de cinco pontas: figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola

            As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.

Matemática e os povos

      Como surgiram os números? Como surgiu a matemática? Quem foram os primeiros povos a utilizá-la?

A MESOPOTÂMIA

      Segundo os estudos nessa área, a Matemática teve seus primeiros registros feitos pelos antigos povos que viviam na Mesopotâmia, entre os Rios Tigre e Rio Eufrates.

      Os registros foram feitos por volta de  4000 a.C., e eram todos em tábuas de argila. A mais famosa é a Plimpton 322.

        A matemática era mais usada para o comercio e para a agricultura, sendo que os registros encontrados continham faturas, recibos, créditos e juros. Eles também utilizavam muito os pesos e as medidas nessa época, para fazerem seus negócios.

       A geometria usada era bem precária e quase toda prática, o que os povos dessa época mais usavam eram valores aproximados para áreas e volumes.

        O sistema de numeração usada era posicional e a base utilizada era 60. Eles também inventaram a Algebra e desenvolveram a divisão e a multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e a raiz cúbica.ática era maião e a multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e a raiz cúbica.

O EGITO

      Essa civilização floresceu por volta dos 3000 a.C., nas margens do Rio Nilo. Seus registros eram feitos em papiros e pedras, por isso não se tem muitos hoje em dia. Os papiros mais importantes são o de Ahmes (ou Rhind), escrito em 1650 a.C. e o Papiro de Moscou.

Papiro de Ahmes ou Rhind

Papiro de Moscou

            Os problemas encontrados nos papiros eram, de maioria, geométricos e práticos. Utilizavam muito a matemática para solucionar os problemas práticos, como por exemplo, a área do circulo, sendo igual 8D/9. Também era utilizada no Calendário Solar.

         Na Aritmética, se usava muito a multiplicação da sucessão de duplicações. Ex: 26 X 33. A razão também era utilizada. Foram os egípcios que estimaram o valor de π para 31/8 = 3,125 (aproximadamente).

            Seu sistema de numeração não era posicional e sua base era 10 – usavam sete símbolos.

símbolos.

HINDU

            Nessa época se usava mais a numeração oral e os tratados matemáticos eram redigidos em versos, como o exemplo da Regra do Falso.

            EX: A idade de Ana, somada de outro tanto como ela, somada com a sua metade, com a sua terça parte e com a sua quarta parte, dá o resultado 148. Qual a idade de Ana?

            Solução: Usaremos o número 12, como numero falso para a idade de Ana, pois ele é divisível por 2,3 e 4, que são frações envolvidas no problema. Usando o numero 12 e seguindo as indicações do problema: 12 (idade) + 12 (outro tanto como ela) + 6 (sua metade) + 4 (terça parte) + 3 (quarta parte) = 37. Veja que o resultado final de 37 e não 148 como estava no enunciado, então, vamos fazer o seguinte ajuste:

	Número (idade)	Resultado
Falso	12	37
Verdadeiro	x	148

Temos agora que resolver a seguinte proporção:

12/x = 37/148

x = 12x148/37

x = 48

Sendo assim, Ana, na realidade, tem 48 anos.

            Esses foram os primeiros povos a utilizarem símbolos matemáticos parecidos com os símbolos que usamos hoje. Foram eles que também inventaram o Xadres.

            A matemática teve um de seus grandes estudiosos nessa época, Bháskara, que resolvia problemas usando a Regra da Inversão. Abaixo temos um exemplo de como se aplica essa regra.

            EX: O problema faz parte do texto Lilavati de Bhaskara: “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?” Pelo método de inversão começamos com o número 2 e operamos para trás. 

Assim, 
[(2)(10) – 8]2 + 52 = 196 , √ 196 = 14, (14) (3/2)(7)(4/7) ÷ 3 = 28