Pitágoras

               

                 Pitágoras, nasceu cerca de 580 anos A.C., em Samos, uma ilha do mar Egeu,  foi um dos maiores filósofos da Europa antiga,e era filho de um gravador, Mnesarco. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos.

            Quando adulto, deixou sua terra para buscar novos conhecimentos, visitando grandes centros da sabedoria. Segundo a história, peregrinou  pelo Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, em busca de novas sabedorias.

            Quando voltou, pretendia abrir uma escola para divulgar seus conhecimentos. Mas foi impedido pelo turbulento tirano Policrates, governador da ilha em que vivia. Mudou-se, então, para Crotona, importante cidade da Magna Grécia.

            Fundou ali a Escola ou Sociedade de Estudiosos que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa. Nessa Escola, Pitágoras, passou a ensinar secretamente a sabedoria oculta que havia reunido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes  do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.

            Lecionou por cerca de quarenta anos, para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..

            A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de meditação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.

            O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais ocultos.

            Não era permitido a ninguém registrar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. O que se tem são apenas fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.

            Suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.

            Os princípios que governam os Números eram, supunham-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.

            Supôe-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.

Teorema de Pitágoras

Lenda e História

 

            Os especialistas em geometria gregos, elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes.Basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por retas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.

            Comparando as áreas das duas figuras planas semelhantes, da mesma forma, é preciso comparar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.

            Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e seu teorema: Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. Segundo a lenda, Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou  o sacrifício de cem bois aos deuses, em  agradecimento.

            A descoberta de Pitágoras não está registrada em jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia esses meios de comunicação. Temos apenas lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. No entanto, muitas razões nos fazem  acreditar na “história de Pitágoras”.

Para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

A  hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. A declaração anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser declarado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

Para ambas as declarações, pode-se equacionar

a²= b² + c²

Onde a representa o comprimento da hipotenusa, e b e c  representam os comprimentos dos outros dois lados.

A Árvore de Pitágoras

            Essa Árvore é construída da seguinte forma:

Desenhar um quadrado,

Em um dos lados deste quadrado desenha-se um triângulo;

Nos dois lados livres do triângulo desenham-se dois quadrados (as medidas dos lados dos quadrados são iguais às medidas dos lados dos triângulos );

E assim sucessivamente  repetem-se os 3 passos anteriores para os dois novos quadrados.

A imagem formada é essa Árvore de Pitágoras;

Tudo é Número

            Segundo os Pitagóricos,  “tudo são números”. Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.

            Os seguidores de Pitágoras, notaram haver uma relação matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b)   2.

            Tinha Pitágoras uma especial atenção pelo número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.

pentágono e estrela de cinco pontas: figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola

            As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.